Чтобы по полдня не выписывать клинья, исследователи представляют вавилонскую систему счисления, используя смесь старых и новых обозначений. Вместо групп из клиньев записываются десятичные числа, разделенные запятыми. Так что последняя группа на рисунке запишется как 1,3,12. Такое соглашение экономит массу дорогостоящего типографского набора, а при этом удобно для чтения, так что мы будем поступать также.
Как же записал бы вавилонский писец число «одна вторая»?
В нашей арифметике эта задача решается двумя различными способами. Число или записывается как дробь 1/2, или же используется знаменитая десятичная запятая, с помощью которой число представляется как 0,5. Обозначения в виде обыкновенной дроби более интуитивны и исторически возникли раньше; десятичные же обозначения несколько сложнее охватить своим умом, однако они удобнее при вычислениях, поскольку представляют собой естественное расширение правила «позиция-значение», действующего для целых чисел. Символ 5 в числе 0,5 означает «5, деленное на 10», а в числе 0,05 — «5, деленное на 100». Перемещение символа на одну позицию влево умножает его на 10; перемещение на одну позицию вправо делит его на 10. Все очень внятно и логично.
В результате десятичная арифметика по сути такова же, как арифметика целых чисел, за исключением того факта, что нужно следить за положением десятичной запятой.
Вавилоняне использовали ту же идею, но с основанием 60. Дробь 1/2 надо было выразить как дробь 1/60, взятую некоторое число раз. Очевидно, правильное число — 30/60, так что они записывали число «одна вторая» как 0;30, где современные исследователи применяют точку с запятой для указания на «шестидесятиричную запятую», которая в клинописных обозначениях опять же представлялась пробелом. Вавилоняне могли выполнять довольно сложные вычисления: например, известное им значение квадратного корня из 2 составляло 1;24,51,10, что отличается от истинного значения менее чем на одну стотысячную[4]. Они успешно использовали эту точность как в теоретической математике, так и в астрономии.
Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.
Типичное квадратное уравнение, которому около 4000 лет, формулируется так: «Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14,30». Сюда входит квадрат неизвестного (площадь квадрата), а также само неизвестное. Другими словами, в задаче требуется решить квадратное уравнение. На той же табличке довольно бесцеремонно приводится решение: «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0;15. Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 — стороне квадрата».
Что же тут делается? Запишем все эти действия в современных обозначениях.
Возьми половину от 1, что есть 0;30 1/2 Умножь 0;30 на 0;30, что есть 0;15 1/4 Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15 8701/4 Это квадрат числа 29;30 8701/4 = (291/2)×(291/2) Теперь прибавь 0;30 к 29;30 291/2 + 1/2 Результат равен 30, стороне квадрата 30Самый сложный шаг — четвертый, где требуется найти число (равное 291/2), квадрат которого составляет 8701/4. Число 291/2 есть квадратный корень из 8701/4. Квадратные корни — основное средство для решения квадратных уравнений, а когда математики попытались применить подобные же методы к решению более сложных уравнений, и родилась современная алгебра.
Ниже мы интерпретируем эту задачу, используя современные алгебраические обозначения. Но важно понимать, что вавилоняне не использовали алгебраические формулы как таковые. Вместо этого под видом типичного примера они описывали конкретную процедуру, которая и приводила к ответу. Но ясно, что они осознавали, что в точности та же самая процедура сработает, если взять другие числа.
Коротко говоря, они умели решать квадратные уравнения, и именно их метод — хотя и не в том самом виде, как они его выражали — мы используем по сей день.
Как вавилоняне смогли открыть свой метод решения квадратных уравнений? Прямых свидетельств у нас нет, но кажется правдоподобным, что они натолкнулись на него, рассуждая геометрически. Возьмем более простую задачу, которая приводит к тому же рецепту. Предположим, что мы нашли табличку, на которой говорится: «Найти сторону квадрата, если площадь плюс две стороны равна 24». В более современных терминах — квадрат неизвестного плюс удвоенное неизвестное равно 24. Это можно представлять себе так, как показано на рисунке.
Геометрическое представление квадратного уравнения.
Здесь вертикальный размер квадрата и прямоугольника слева от знака равенства соответствует неизвестному, а малые квадраты имеют единичный размер. Если разбить высокий прямоугольник пополам и приклеить два полученных куска к квадрату, то получится фигура, имеющая вид квадрата с одним недостающим углом. Рисунок подсказывает, что надо «дополнить квадрат» путем прибавления к обеим частям уравнения недостающего угла.
Дополнение квадрата.
Теперь у нас имеется квадрат слева и 25 единичных квадратов справа. Соберем их в квадрат 5×5:
Теперь решение очевидно: неизвестное плюс один при возведении в квадрат дает квадрат числа пять. Извлекая квадратные корни, находим, что неизвестное плюс один равно пяти; не надо быть гением, чтобы найти неизвестное: оно равно четырем.
Такое геометрическое описание в точности соответствует вавилонскому методу решения квадратных уравнений. В более сложном примере из табличек используется в точности тот же рецепт. На табличке лишь приведен рецепт, но не сказано, откуда он взялся, однако геометрическая картина согласуется и с другими косвенными свидетельствами.
Глава 2
Имя на устах
Многие из величайших математиков древнего мира жили в египетском городе Александрия, расположенном между пятью крупными оазисами, выдающимися в пустыню к западу от Нила. Один из оазисов — Сива — был известен своими соляными озерами, которые наполняются за зиму и высыхают в летнюю жару. Соль проникла в почву и стала главным источником головной боли для археологов, поскольку она пропитывает древние камни, и остающийся на них соляной налет медленно разрушает остовы зданий.
Наиболее популярное туристическое место в Сиве — Агурми, в прошлом храм, посвященный богу Амону. Божественность Амона была столь велика, что основной его аспект представляет собой нечто абстрактное, но затем его стали отождествлять с более осязаемой сущностью — происхождением бога Ра, Солнцем. Построенный во времена 26-й династии храм Амона в Сиве был обителью знаменитого оракула, известного, в частности, в связи с двумя крупными историческими событиями.
Первое — это гибель армии Камбиса II, персидского царя, покорившего Египет. Передают, что в 523 году до Р.Х., намереваясь использовать оракула храма Амона для утверждения своего правления, Камбис отправил в Западную пустыню военный отряд. Армия дошла до оазиса Бахарийа, но погибла в песчаной буре по дороге к Сиве. Многие египтологи склонялись к мысли, что «потеря армии Камбиса» может оказаться мифом, но в 2000 году группа исследователей из Каирского университета Хелван, занимавшаяся поисками нефти, нашла в том районе куски ткани, металла и человеческие останки, которые могли быть останками погибшей армии.